Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于O点，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF；

（2）若BC=，求AB的长。

Answer 1

【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB。

∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。

又∵AE=CF，∴△OEA≌△OFC（ASA）。

∴OE=OF。

（2）如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∠ABO=∠OBF。

∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OBE=∠BAC。

又∵矩形ABCD中，∠ABC=900，∴∠BOE=∠ABC=900。

∴△OBE∽△BAC。∴。

∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。

设AB=x，AE=OE=y，则。

∵BC=，∴。

由（1）△OEA≌△OFC，得AO=CO，∴。

∴。∴①。

又∵，即，

化简，得②。

由①②得，两边平方并化简，得，

∴，∴根据x的实际意义，得x=6。

∴若BC=， AB的长为6。

【解析】试题分析：（1）根据△AEO和△CFO全等来进行说明；（2）连接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度数，根据∠BAC的正切值求出AB的长度．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF

∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF

（2）连接BO ∵OE=OF BE=BF

∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90°

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BCF=90°

∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA

∴∠BAC=∠EOA AE=OE

∵AE=CF OE=OF

∴OF=CF 又∵BF=BF

∴Rt△BOF≌Rt△BCF

∴∠OBF=∠CBF

∴∠CBF=∠FBO=∠OBE

∵∠ABC=90° ∠OBE=30°

∴∠BEO=60° ∠BAC=30°

∵tan∠BAC=

∴tan30°=即∴AB=6．