Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.

（1）若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）M（－1，2）；（3）满足条件的点P共有四个,分别为（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．

【解析】

试题分析：（1）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，可得方程组，解方程组可求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；根据抛物线的对称性和点A的坐标（1，0）可求得B点的坐标（－3，0），用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点，把x=-1代入直线BC的解析式求得y的值，即可得点M的坐标；（3）分①B为直角顶点，②C为直角顶点，③P为直角顶点三种情况分别求点P的坐标．

试题解析：（1）依题意，得 解之，得

∴抛物线解析式为．

∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），

∴B（－3，0）．

把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得

解之，得

∴直线BC的解析式为．

（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.

∴使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点.

设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1

代入直线，得y＝2.

∴M（－1，2）

（3）设P（－1，t），结合B（－3，0），C（0， 3），得BC2＝18，

PB2＝（－1＋3）2＋t2＝4＋t2，

PC2＝（－1）2＋（t－3）2＝t2－6t＋10.

①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.

解之,得t＝－2.

②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即

18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．

③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即

4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．

综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．