Question

【题目】定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．

（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为________．

（2）如图①，折叠平行四边形，使得顶点、分别落在边、上的点、处，折痕为、．求证：四边形为三等角四边形；

（3）如图②，三等角四边形中，，若，，，则 的长度为多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）的长度为.

【解析】

（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠BAD的范围；

（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可；

（3）延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG=EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH=HF，连接DF，由SAS证明△DEG≌△DAG，得出AD=DE=，∠DAG=∠DEA，由SAS证明△DFH≌△DCH，得出CD=DF=6，∠DCH=∠DFH，证出DE∥BF，BE∥DF，得出四边形DEBF是平行四边形，得出DF=BE=6，DE=BF=，由等腰三角形的性质得出EG=AG=（BE-AB）=1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG==4，由平行四边形DEBF的面积求出，在Rt△DCH中，由勾股定理求出，即可得出BC的长度．

（1）∵

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为：

（2）证明：∵四边形为平行四边形，

∴，

∴

∵，

∴

∵，，

∴

∴四边形是三等角四边形；

（3）延长，过点作，继续延长，使得，连接；延长，过点作，继续延长，使得，连接，如图所示：

在和中，

∴，

∴，

同理可得，

∴，

∵

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∴

在中,

∵平行四边形的面积，

即：

∴

在中，

∴

故答案为：的长度为.