Question

【题目】如图所示，梯形AOCD中，AD=9，OC=10，AO=4，在线段OC上任取一点N（不与O，C重合），连接DN，作NE⊥DN，交AO于点E．

（1）当CN=2时，求点E的坐标．

（2）若CN=x，OE=y，求y与x的函数关系式．

（3）探索与研究：若点M从O点沿OC方向、N点从C点沿CO方向同时等速运动，现有一点F，满足MF⊥MN，NF⊥ND．

①猜想F点在什么线上运动？并求出这条线所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

②求出F点在运动过程中的最高点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标为（0，2）；（2）①当0＜x＜1时，y=；②当x＞1时，y=；（3）①y=﹣x2+3x﹣（0＜x＜10）；②最高点的坐标是（3，2）．

【解析】试题分析：

试题解析：(1)如图所示，作DF⊥OC于F，

由题意知，CN=2，AD=9，OC=10.

∵AOCD是梯形且

∴OF=AD=9，CF=OCOF=1，NF=CNCF=1，DF=OA=4.

∴在Rt△DFN中,

又∵NE⊥DN,

∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4.

∴点E的坐标为(0,2)；

(2)如图所示：

①当0<t<1时由(1)知CF=1,所以此时N点在F点右侧,E点在y轴负半轴，

∵∠DNF=∠OEN，

整理得：

②当t>1时，如图所示N点在F点左侧，E点则在y轴正半轴，

即

(3)①如图所示：由图知点F在第四象限，

∵MF⊥MN,NF⊥ND,点F(x,y),M点、N点同时等速运动,

∴CN=OM=x.

又

∴∠MFN=∠DNM，

即：

y<0，

②

故最高点的坐标是(3,2).