Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

将C点坐标（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，

则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，

所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3

（2）

解：过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得

，解得 ，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S= PNOA

= ×3（﹣x2﹣3x）

=﹣ （x+ ）2+ ，

∴当x=﹣ 时，S有最大值 ，此时点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t= ，

所以点M的坐标为（0， ）；

②当D为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣ ，

所以点M的坐标为（0，﹣ ）；

③当M为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，

解得t=﹣1或﹣3，

所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；

综可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）

【解析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．