Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论： ① ；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF= AB；⑤S△ABC=5S△BDF ，
其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：依题意可得BC∥AG， ∴△AFG∽△BFC，∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，
，
∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故结论④正确；
∵AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；又D为中点，∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=6S△BDF ．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，
所以答案是：①②④．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．