Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP= ．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）若△AME∽△ENB，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，

∴AC= = =40，

∵CP⊥AB，

∴ = ，

∴ = ，

∴CP=24，

∴CM= = =26

（2）

解：∵sin∠EMP= ，

∴设EP=12a，

则EM=13a，PM=5a，

∵EM=EN，

∴EN=13a，PN=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴ ，

∴ =

∴x=16a，

∴a= ，

∴BP=50﹣16a，

∴y=50﹣21a，

=50﹣21× ，

=50﹣ x，

∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．

∴函数的定义域是：（0＜x＜32）

（3）

解：①当点E在AC上时，如图2，

设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴AP=16a，

∴AM=11a，

∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a，

∵△AME∽△ENB，

∴ =

∴ = ，

∴a= ，

∴AP=16× =22，

②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，

∵△EBP∽△ABC，

∴ = ，

即 = ，

解得BP=9a，

∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a，

∵△AME∽△ENB，

∴ = ，

即 = ，

解得a= ，

∴AP=50﹣9a=50﹣9× =42．

所以AP的长为：22或42．

【解析】（（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．（2）本题需先根据EN，根据sin∠EMP= ，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出 = ，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．