Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ． （直接写出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），

∴﹣9+3b+c=0，c=3，

∴b=2，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）解：∵A（3，0），B（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，

∵P（x，0）．

∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），

∵0＜x＜3，

∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

当x= 时，CD最大= ；

（3）解：由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|

①当S△PDB=2S△CDB时，

∴PD=2CD，

即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，

∴x=± 或x=3（舍），

②当2S△PDB=S△CDB时，

∴2PD=CD，

即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，

∴x=±2或x=3（舍），

即：综上所述，x=± 或x=±2

（4）
【解析】解：（4）直线AB解析式为y=﹣x+3，

∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，

∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，

∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，

∴ ，

∴x=± ，

所以答案是：