Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D．

（1）问题发现：直接写出∠NDE=度；
（2）拓展探究：试判断，如图②当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．

（3）如图③，若∠EAC=15°，BD= ，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）解：∠NDE的大小不变，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，

∴∠MDF=∠FCN=90°，

即∠NDE=90°

（3）解：AC=2，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=15°，

如图③，设BC与AD交于点H，

又∵∠AHC=∠BHD，

∴∠BDH=∠ACH=90°，

∴在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°

∵BD= ，

∴AB=2 ，

∴AC=ABcos45°=2．

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，

∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，

∴∠NDE=90°．

所以答案是：90．

【考点精析】通过灵活运用旋转的性质，掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．