Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，以BC边为直径作⊙O交AB边于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径等于 ，cosB= ，求线段DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连结OD．

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线，

（2）解：如图，连结CD．

∵⊙O的半径等于 ，

∴BC=3，∠CDB=90°，

在Rt△CDB中，

cosB= = ，

∴BD=1， ，

∵AC=BC=3，∠CDB=90°．

∴AD=BD=1，

解法一：在Rt△ADC中， ，

解法二：∵∠A=∠A，∠ADC=∠AED=90°，

∴△ACD∽△ADE．

∴ ．

∴

【解析】（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角，得到角相等，得出平行线，得出DE是⊙O的切线；（2）根据在Rt△CDB中，由三角函数和勾股定理求出AC=BC、CD、AD=BD的值，由角相等得出△ACD∽△ADE，得到比例，求出DE的值.
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．