Question

【题目】材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．

材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．

例如解方程；

或

原方程的解是，

∴原方程的解是，

又如解方程：

原方程的解是

请阅读以上材料回答以下问题：

（1）若，则_______；_______；

（2）请将下列多项式因式分解：

_______，________；

（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）.

【解析】

（1）等式右边展开整理，根据多项式相等，对应项的系数也相等即可求得m，n；

（2）分别用提公因式法和公式法分别因式分解即可；

（3）先通过因式分解法求得方程的解，得到m的值，从而得到的坐标，再利用平面上两点间的距离公式得到PQ长度的表达式，从而得到PQ的最小值.

解：（1）∵

∴，

解得：；

∴，.

（2），；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

根据平面上两点间的距离公式有：

∴

故当n=8时，长度有最小值为