Question

【题目】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

（1）求证：OC平分∠ACD；

（2）求证：OA⊥OC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；

（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明．

证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，

∴OB＝OE，

∵点O为BD的中点，

∴OB＝OD，

∴OE＝OD，

∵∠D＝90°，

∴OD⊥CD，

∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB＝∠AOE，

同理得：∠COD＝∠COE，

∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，

∴OA⊥OC．