Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ACF是等腰三角形，见解析

【解析】

（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG＝90°，需证明∠CAG＝∠BCF，利用三角形全等，易证．

（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF＝AF，从而判断其形状．

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°．

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°．

∴∠BDE＝45°．

又∵BF∥AC，

∴∠CBF＝90°．

∴∠BFD＝45°＝∠BDE．

∴BF＝DB．

又∵D为BC的中点，

∴CD＝DB．

即BF＝CD．

在△CBF和△ACD中，

，

∴△CBF≌△ACD（SAS）．

∴∠BCF＝∠CAD．

又∵∠BCF+∠GCA＝90°，

∴∠CAD+∠GCA＝90°．

即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF，如图所示，

由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，

∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，

∴AF＝AD，

∵CF＝AD，

∴CF＝AF，

∴△ACF是等腰三角形．