Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB= ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OA，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∵∠B=30°，

∴∠C=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴直线CA与⊙O相切；

（2）解：连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，

∵AB= ，

∴AD=OA=OB=OD=4，

∵∠DAE=30°，

∴DE=2，

∴△ABC面积12 ，

扇形AOD面积 ，

△ABO面积4 ，

∴阴影面积 ﹣ ．

【解析】（1）连接OA，由AB=AC，则∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，从而得出∠OAC=90°，则直线CA与⊙O相切；（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面积，再减去扇形AOD和△AOB的面积即可．
【考点精析】利用切线的判定定理和扇形面积计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．