Question

【题目】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 ，ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线 经过C、D两点．

（1）求k的值；
（2）点P在双曲线 上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ +（a+b+3）2=0，且 ≥0，（a+b+3）2≥0，

∴ ，

解得： ，

∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），

∵E为AD中点，

∴xD=1，

设D（1，t），

又∵DC∥AB，

∴C（2，t﹣2），

∴t=2t﹣4，

∴t=4，

∴k=4；

（2）

解：∵由（1）知k=4，

∴反比例函数的解析式为y= ，

∵点P在双曲线 上，点Q在y轴上，

∴设Q（0，y），P（x， ），

①当AB为边时：

如图1所示：

若ABPQ为平行四边形，则 =0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；

如图2所示；

若ABQP为平行四边形，则 = ，解得x=﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；

如图3所示；

②当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴ = ，解得x=﹣1，

∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

（3）

解：连NH、NT、NF，

∵MN是线段HT的垂直平分线，

∴NT=NH，

∵四边形AFBH是正方形，

∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN与△BHN中，

∵ ，

∴△BFN≌△BHN，

∴NF=NH=NT，

∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，

所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．

∴MN= HT，

∴ = ．

【解析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y= ，再由点P在双曲线 上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x， ），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此即可得出结论．
【考点精析】利用反比例函数的图象和反比例函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．