Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．
（1）如图1，点A（﹣1，0）．
①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为；
②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为；
③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；
（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y= x（x≥0）上，b的取值范围是；
（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y= x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）（3.0）；-2；y=﹣x+2
（2）﹣ ≤b≤1
（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y= x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．

连接E1E′交直线y= x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=﹣ x﹣ t，

由 解得 ，

∴K（ ， ），

∵KE1=KE′，

∴E′（ ， ），

当⊙E′与y轴相切时，| |=2，解得t= ﹣4或 +4，

综上所述，满足条件的t的取值范围为 ﹣4≤t≤ +4

【解析】解：（1.）①如图1中，点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．
②如图2中，由题意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，
∴a=﹣2．

③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），
∴直线A1D的解析式为y=x﹣1，线段A1D的中垂线的解析式为y=﹣x+2，
∴直线l3的解析式为y=﹣x+2．

故答案分别为（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．
（2.）如图4中，

由题意b= MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，
∵直线OM′的解析式为y= x，
∴∠MM′O=∠M′OD=30°，
∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，
∴b的最大值为1，
如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣ ，

综上所述，满足条件的b取值范围为﹣ ≤b≤1．
所以答案是﹣ ≤b≤1．