Question

【题目】在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F． ①求证：△BEF是等腰三角形；
②求证：BD= （BC+BF）；
（2）点E在AB边上，连接CE．若BD= （BC+BE），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，

∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，

∵∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB=∠ACE=22.5°，

∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，

∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形；

②如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，

∴BD∥CM，BD= CM，

∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，

∠BFE=∠MCE，

∴BC=BM，

由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF，

∴∠BFE=∠MCE=∠BEF，

∴EM=MC，

∴BD= EM= （BC+BF）

（2）解：∠ACE= ∠ABC．

求解∠ACE与∠ABC关系的思路：

a，延长AB至P，使得BP=AB，连接CP，与（1）②同理可得BD∥PC，BD= PC，BP=BC；

b，由BD= （BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；

c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得 =90°﹣∠DCF，即可证明∠ACE= ∠ABC．

【解析】（1）①根据∠ABC=90°，∠FDC=90°，以及∠ECB=∠ACE=22.5°，即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，即可判定△BEF是等腰三角形；②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，根据三角形中位线定理可得BD∥CM，BD= CM，再根据∠BFE=∠MCE=∠BEF，可得EM=MC，进而得出BD= EM= （BC+BF）；（2）与（1）②同理可得BD∥PC，BD= PC，BP=BC；由BD= （BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得 =90°﹣∠DCF，即可得到∠ACE与∠ABC之间的数量关系：∠ACE= ∠ABC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．