Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若AB=6，AC=4，求EC和PB的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）EC=，PB=．

【解析】分析：（1）首先连接OC，由PE是 O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；（2）由Rt△ABC∽Rt△ACE得出CE的值，再由Rt△ABC∽Rt△ACE，得出PB的值.

本题解析：

（1）证明：连接OC，∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠BAD；

（2）∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°

在Rt△ABC中，AB=6，AC=4，∴BC=，在Rt△ABC和Rt△ACE中，∵∠DAC=∠OAC，∠AEC=∠ACB=90°，∴Rt△ABC∽Rt△ACE，∴，∴，∴EC=

在Rt△ACE中，AE=，OC==3

又∵OC∥AE，∴Rt△ABC∽Rt△ACE，∴，∴ ，解得：PB=