Question

【题目】如图，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F．

（1）求证：AF＝DE；

（2）若E为AD的三等分点（靠近A点），BE＝8，CF＝6，求直线AD与BC之间的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）4.8

【解析】

（1）证出∠AEB＝∠ABE，∠DFC＝∠DCF，得出AE＝AB，DF＝DC，得出AE＝DF，进而得出结论；

（2）作EM⊥BC于M，证出AE＝EF＝DF，过点E作EP∥CF交BC于P，则∠BPE＝∠BCF，四边形CFEP是平行四边形，得出EP＝CF＝6，证出∠BEP＝90°，由勾股定理求出，由面积法求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，AB∥DC，AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，∠DFC＝∠BCF，

∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．

∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，

∴∠AEB＝∠ABE，∠DFC＝∠DCF，

∴AE＝AB，DF＝DC，

∴AE＝DF，

∴AE+EF＝DF+EF，

即AF＝DE；

（2）解：作EM⊥BC于M，如图所示：

由（1）得：AE＝DF，

∵E为AD的三等分点，

∴AE＝EF＝DF，

过点E作EP∥CF交BC于P，

则∠BPE＝∠BCF，四边形CFEP是平行四边形，

∴EP＝CF＝6，

∵AB∥DC，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．

∴∠ABE＝∠CBE，∠DCF＝∠BCF，

∴∠CBE+∠BCF＝90°，

∴∠CBE+∠BPE＝90°，

∴∠BEP＝90°，

∴，

∴，

即AD与BC之间的距离为4.8．