Question

【题目】如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．

（1）∠AOC与∠BOD的度数相等吗，为什么？

（2）已知OM平分∠AOC，若射线ON在∠COD的内部，且满足∠AOC与∠MON互余；

①∠AOC＝32°，求∠MON的度数；

②试探究∠AON与∠DON之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AOC=∠BOD，理由详见解析；（2）① 58°；②∠AON=∠DON，理由详见解析．

【解析】

（1）根据补角的性质即可求解；

（2）①根据余角的定义解答即可；

②根据角平分线的定义以及补角与余角的定义，分别用∠AOM的代数式表示出∠AON与∠DON即可解答．

解：（1）∠AOC＝∠BOD，

∵∠BOD与∠BOC互补，

∴∠BOD+∠BOC＝180°，

∵∠AOC+∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝∠BOD；

（2）①∵∠AOC与∠MON互余，

∴∠MON＝90°﹣∠AOC＝58°；

②∠AON＝∠DON，

理由如下：

∵OM平分∠AOC，

∴∠AOC＝2∠AOM，∠COM＝∠AOM，

∵∠AOC与∠MON互余，

∴∠AOC+∠MON＝90°，

∴∠AON＝90°﹣∠AOM，

∴∠CON＝90°﹣3∠AOM，

∵∠BOD与∠BOC互补，

∴∠BOD+∠BOC＝180°，

∴∠CON+∠DON+2∠BOD＝180°，

又∵∠BOD＝∠AOC＝2∠AOM，

∴∠DON＝180°﹣∠CON﹣2∠BOD

＝180°﹣（90°﹣3∠AOM）﹣4∠AOM

＝90°﹣∠AOM．

∴∠AON＝∠DON．