Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H.

（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；

（2）当= 时，四边形EGFH为矩形。

Answer 1

【答案】（1）见解析；

(2)当时，平行四边形EGFH是矩形，理由见解析.

【解析】

（1）可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形．

（2）证出四边形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF=90°，即可得出结论．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC.

∵点E. F分别是AD、BC的中点

∴AE=ED=AD,BF=FC=BC，

∴AE∥FC，AE=FC.

∴四边形AECF是平行四边形.

∴GF∥EH.

同理可证：ED∥BF且ED=BF.

∴四边形BFDE是平行四边形.

∴GE∥FH.

∴四边形EGFH是平行四边形.

(2)当时，平行四边形EGFH是矩形.理由如下：

连接EF,如图所示：

由(1)同理可证四边形ABFE是平行四边形，

当时，即BC=2AB，AB=BF，

∴四边形ABFE是菱形，

∴AF⊥BE,即∠EGF=90，

∴平行四边形EGFH是矩形.