Question

【题目】如图1，AB//EF,∠2=2∠1

（1）证明∠FEC=∠FCE；

（2）如图2，M为AC上一点，N为FE延长线上一点，且∠FNM=∠FMN，则∠NMC与∠CFM有何数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）∠CFM＝2∠NMC，理由见解析

【解析】

(1)由平行线的性质可得∠1＝∠CEF，再加上∠2＝2∠1，∠2＝∠CEF+∠C，从而得到结论；

(2)如图，由三角形外角性质可得∠7＝∠3+∠4，从而得到∠C＝∠3+∠4，再加上∠C+∠5＝∠8+∠N可得∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，再加上∠FNM=∠FMN可得：∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，从而得出结论.

(1)∵AB//EF,

∴∠1＝∠CEF，

又∵∠2＝2∠1（已知），∠2＝∠CEF+∠C（三角形外角的性质），

∴2∠1＝∠2＝∠1+∠C，

∴∠1＝∠C，

∴∠FEC=∠C，即∠FEC=∠FCE；

(2)如图所示：

∵∠7＝∠3+∠4，∠7＝∠6，∠6＝∠C（已证），

∴∠C＝∠3+∠4，

又∵∠7＝∠6，

∴∠C+∠5＝∠8+∠N，

∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠N，

又∵∠FNM=∠FMN，

∴∠N＝∠3+∠8，

∴∠3+∠4+∠5＝∠8+∠3+∠8，

又∵∠4+∠5＝∠CFM，

∴∠3+∠CFM＝∠8+∠3+∠8，

∴∠CFM＝2∠8，即∠CFM＝2∠NMC.