Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx－4k（k≠0）．

（1）求A，C的坐标；

（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；

（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，3）；（2）直线EF的解析式为y=x-1；

（3）存在；点G的坐标为（，），（，），（，）．

【解析】

（1）设A（a，0），B（0，b），将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），解出a值，再根据矩形的面积为12，解出b即可；

（2）利用中点坐标公式求得点D的坐标，由点D和点E的坐标利用待定系数法求得直线EF的解析式即可；

（3）分别以DC、DF；CD、CF；CF、DF为一组邻边求得点G的坐标即可．

解：（1）设A（a，0），B（0，b），

将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），得0＝ka－4k，

解得a=4，

∵矩形的面积为12，

∴ab=12，

解得b=3，

∴A（4，0），B（0，3）；

（2）∵D为AC的中点，

∴点D的坐标为（2，），

∵OE=1，

∴点E的坐标为（0，-1），

设直线EF的解析式为y=kx+b，将点D和点E的坐标代入得，

解得，

∴直线EF的解析式为y=x-1；

（3）存在；

理由：∵点F在BC上，

∴点F的纵坐标为3，

将y=3代入y=x-1得x-1=3，

解得：x=，

∴点F的坐标为（，3）；

①如图1所示：

∵四边形CDFG为平行四边形，

∴GM=MD，CM=MF，

∴点M的坐标为（，3），

设点G的坐标为（x，y），

∴，，解得：x=，y=，

∴点G的坐标为（，）；

②如图2所示：

∵点F的坐标为（，3），

∴CF=，

∵四边形CGDF为平行四边形，

∴CF∥GD，CF=GD，

∴点G的坐标为（，）；

③如图3所示：

∵四边形CGDF为平行四边形，

∴CF∥GD，CF=GD，

∴点G的坐标为（，）；

综上所述：点G的坐标为（，），（，），（，）．