Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O 于点E．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

(2) 连接CE，若CE=6，AC=8，求AE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.8.

【解析】试题分析：（1）连接OC，利用条件可证得AD∥OC，再根据平行线的性质和角之间的关系可得∠DAC=∠CAO，即可得证；

（2）连接BC、OE，根据圆周角定理和勾股定理可求AB的长，然后根据相似三角形的判定和性质可得到AD=4.8，DE=3.6，由此可解.

试题解析：（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴∠ADC=∠OCD=90°，

∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，

又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．

（2）解：连接BC、OE,

∵∠EOA＝2∠CAD，∠COB=2∠CAO

∵∠CAD＝∠CAO,∴∠EOA＝∠COB

∴BC=EC=6

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,

又AC=8，勾股定理易得AB=10，

∵∠DAC＝∠CAB,∠ADC＝∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,∴,

∴AD==6.4，

又∠DEC=∠ABC,同理可得DE=3.6，

∴AE=AD-DE=6.4-3.6=2.8.