Question

【题目】如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F，连接CQ．求证：

（1）CQ=AP；

（2）△APB∽△CEP．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意可知AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，利用“SAS”证明△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的性质即可证明；

（2）由正方形的性质得∠BAC=∠BCA=45°，从而∠APB+∠ABP=135°.由旋转的性质△PBQ是等腰直角三角形，从而∠APB+∠CPQ=135°，由等量代换可得∠CPQ=∠ABP，进而可证△APB∽△CEP．

证明：（1）如图，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP．