Question

【题目】如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

（1）求证：△PAB≌△AQE；

（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求的值；

（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）不会变化．值为1.

【解析】试题分析：（1）根据题目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；

（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；

（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．

试题解析：（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，

∴∠QAE=∠APB，

在△PAB和△AQE中，

，

∴△PAB≌△AQE（AAS）；

（2）∵△PAB≌△AQE，

∴AE=PB，

∵AB=CB，

∴QE=CB．

在△QEM和△CBM中，

，

∴△QEM≌△CBM（AAS），

∴ME=MB，

∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，

∴BE=PC，

∵PC=2PB，

∴PC=2MB，

∴＝2；

（3）式子的值不会变化．

如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，

∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，

∴∠QAH=∠PAD，

∵△PAQ为等腰直角三角形，

∴AQ=AP，

在△AQH和△APD中，

，

∴△AQH≌△APD（ASA），

∴AH=AD，QH=PD，

∵HA⊥AC，∠BAC=45°，

∴∠HAF=∠DAF，

在△AHF和△ADF中，

，

∴△AHF≌△ADF（SAS），

∴HF=DF，

∴．