Question

【题目】 (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．

(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、t=1秒或5秒.

【解析】

试题分析：(1)、根据∠DPC=∠A=∠B=90°得出∠ADP+∠APD=∠BPC+∠APD=90°，则∠ADP=∠BPC，从而得出△ADP和△BPC相似，从而得出答案；(2)、根据同样的证明方法得出三角形相似，从而得出答案；(3)、过点D作DE⊥AB于点E，则AE=BE=3，根据勾股定理得出DE=4，设AP=t，则BP=6－t，根据(1)(2)的定理列出关于t的方程，从而求出t的值.

试题解析：(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴即AD·BC=AP·BP．

(2)、结论AD·BC=AP·BP 仍成立．

理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC． 又∵∠BPD=∠A+∠ADP．∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP．

∵∠DPC =∠A=θ．∴∠BPC =∠ADP 又∵∠A=∠B=θ．∴△ADP∽△BPC．∴

∴AD·BC=AP·BP．

(3)、如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6． ∴AE=BE=3．由勾股定理得DE=4．

∴DC=DE=4．∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B．由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B．

由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP． 又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1．

解得t1=1，t2=5． ∴t的值为1秒或5秒．