Question

【题目】如图1，已知菱形的边长为12，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且．

（1）求证: 是等边三角形；

（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；

（3）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不变，；（3）见解析．

【解析】

（1）证明△ACE≌△ADF，证出AE=AF，结合，便证出△AEF是等边三角形；

（2）根据△ACE≌△ADF，则四边形的面积等于△ABC或者△ACD的面积．

（3）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．结合旋转的性质证明△MAN≌△MAP，根据四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，推出∠BPM=90°，即可证明结论.

（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，∠D=∠B=60°，

∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，

∴AC=AD，

∵，

∴∠CAE=∠DAF，

又∵∠D=∠ACE=60°，

∴△ACE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△AEF是等边三角形；

（2）点、在运动过程中，四边形的面积不变.

理由：

∵△ACE≌△ADF，

∴,即

；

（3）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．

∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，

∴∠MAN=∠MAP=60°，

∵AM=AM，AN=AP，

∴△MAN≌△MAP（SAS），

∴MN=PM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ADN=∠ADC=30°，

∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，

∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，

∴∠BPM=90°，

∴BP2+PM2=BM2，

∵BP=DN，PM=MN，

∴DN2+MN2=BM2．