Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），C为第一象限内一点，AC⊥y轴，BC⊥x轴，D坐标为（m，0）（0＜m＜4）．

（1）若D为OB的中点，求直线DC的解析式；

（2）若△ACD为等腰三角形，求m的值；

（3）E为四边形OACB的某一边上一点．

①若E在边BC上，满足△AOD≌△DBE，求m的值；

②若使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个，直接写出符合条件的m的值．

Answer 1

【答案】（1） y=x﹣3；（2）2或或4-；（3）①1；②4或

【解析】

（1）求出C、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）分三种情形讨论求解即可；

（3）①利用全等三角形的性质可知OA=BD=3；

②当m=3或时，使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个.

（1）∵A（0，3），B（4，0），四边形AOBC是矩形，

∴OA=BC=3，OB=AC=4，

∴C（4，3），

∵点D为OB中点，

∴D（2，0），

设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线CD的解析式为y=x﹣3．

（2）①当DA=DC时，D（2，0）．

②当AD=AC=4时，在Rt△AOD中，OD=，

∴D（，0）．

③当CD=AC时，在Rt△BCD中，BD=，

∴D（4﹣，0）．

（3）①∵△AOD≌△DBE，

∴DB=OA=3，

∴OD=OB﹣BD=1，

∴m=1．

②如图1中，当m=3时，使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个；

如图2中，当E与C重合时，OD=DC=m，

在Rt△CDB中，∵CD2=BD2+BC2，

∴m2=（4﹣m）2+32，'

∴m=．此时使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个.