Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的抛物线y=﹣ （x﹣2）2+m的顶点P在这条直线上，以AB为边向下方做正方形ABCD．

（1）当m=2时，k= ， b=；当m=﹣1时，k= ， b=；
（2）根据（1）中的结果，用含m的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）当正方形ABCD的顶点C落在抛物线的对称轴上时，求对应的抛物线的函数关系式；
（4）当正方形ABCD的顶点D落在抛物线上时，直接写出对应的直线y=kx+b的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；1；；﹣2
（2）

解：k= ，b=m﹣1．

证明：∵y=﹣ （x﹣2）2+m，

∴抛物线的顶点坐标为（2，m）．

把x=0代入得：y=m﹣1．

∴b=m﹣1．

设直线AB的解析式为y=kx+m﹣1．

将x=2，y=m代入得：2k+m﹣1=m，解得k=

（3）

解：如图1所示，过点C作CE⊥y轴，垂足为E．

∵ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠EBC．

在△ABO和△BCE中 ，

∴△ABO≌△BCE．

∴EC=OB=2．

∴m﹣1=2．

∴m=3．

∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣2）2+3

（4）

解：如图2所示当点B在y轴的正半轴上时，过点D作DE⊥x轴与点E．

由（2）可知：直线AB的解析式为y= x+m﹣1．

当x=0时，y=m﹣1，当y=0时，x=2﹣2m．

∴OA=2m﹣2，OB=m﹣1．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB=1﹣m，ED=AO=2m﹣2．

∴D（1﹣m，2﹣2m）．

∵点D在抛物线上，

∴2﹣2m=﹣ （﹣m﹣1）2+m，解得m=9或m=1（舍去）．

∴直线的解析式为y= x+9．

如图3所示：当点B在y轴的负半轴上时，

当x=0时，y=m﹣1，当y=0时，x=2﹣2m．

∴OA=2﹣2m，OB=1﹣m．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB，ED=AO．

∴D（3﹣3m，2m﹣2）．

∵点D在抛物线上，

∴2m﹣2=﹣ （1﹣3m）2+m，解得m=﹣ 或m=1（舍去）．

∴直线的解析式为y= x﹣ ．

综上所述，直线的解析式为y= x+9或y= x﹣

【解析】解：（1）当m=2时，y=﹣ （x﹣2）2+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
设直线AB的解析式为y=kx+1，
将点P的坐标（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k= ．
∴k= ，b=1．
当m=﹣1时，y=﹣ （x﹣2）2﹣1．
∴P（2，﹣1）．
把x=0代入得：y=﹣2，
∴B（0，﹣2）．
设直线AB的解析式为y=kx﹣2，
将点P的坐标（2，﹣1）代入得：2k﹣2=﹣1，解得：k= ．
∴k= ，b=﹣2．
故答案为： ；1； ；﹣2．
（1）将m的值代入可求得点P的坐标，将x=0代入求得y的值，从而可得到点B的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；（2）由函数解析式得到点P的坐标，将x=0代入可求得y的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求得AB的解析式，从而得到k、b的值；（3）过点C作CE⊥y轴，垂足为E．然后证明△ABO≌△BCE，从而可得到点B的坐标，然后由点B的坐标可求得点m的值；（4）当点B在y轴的正半轴上时，过点D作DE⊥x轴与点E．然后证明△ABO≌△DAE，从而可得到点D的坐标，然后将点D的坐标代入函数解析式可求得m的值，从而得到直线AB的解析式；当点B在y轴的负半轴上时，证明△ABO≌△DAE，从而可得到点D的坐标，然后将点D的坐标代入函数解析式可求得m的值，从而得到直线AB的解析式．