Question

【题目】已知：如图，在□ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF.

（1）求证：BD、EF互相平分；

（2）若∠A=600，AE=2EB，AD=4，求四边形DEBF的周长和面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEBF的周长为12 ，面积是4

【解析】分析：（1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明．
（2）求四边形DEBF的周长，求出BE和DE即可．

详解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥AB,CD=AB,AD=BC

∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线

∴∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF

∵CD∥AB,∴∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF

∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF

∴AE=AD,CF=CB,∴AE=CF,∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF

∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形

∵∠A=60°，AE=AD∴△ADE是等边三角形

∵AD=4，∴DE=AE=4,∵AE=2EB，∴BE=2

∴四边形DEBF的周长=2(BE+DE)=2(4+2)=12

过D点作DG⊥AB于点G，

在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60°，

∴DG=ADcos∠A=4×=

∴四边形DEBF的面积=BE×DG=2×=4