Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线DE，且满足BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，当B，C在直线DE的同侧时，

（1）求证：DE=BD+CE；

（2）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明

（3）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD=DE+CE，见解析；（3）DE=CE-BD，见解析.

【解析】

（1）由条件可以得出∠D=∠E=90°，∠CAE=∠ABD，就可以证明△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出结论；
（2）同理得△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE就可以得出BD=CE+DE；
（3）同理得△ABD≌△CAE（AAS），就可以得：AD=CE，BD=AE，由DE=AD-AE，可得结论．

（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠D=∠E=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：BD=DE+CE，
理由：如图2，

∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∵∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC．
在△ADB和△CEA中，

∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+ED，
∴BD=DE+CE．
（3）解：DE=CE-BD，
理由是：如图3，同理易证得：△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．