Question

【题目】在图中，正方形AOBD的边AO，BO在坐标轴上，若它的面积为16，点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当M到达B点时，运动停止．连接AM，过M作AM⊥MF，且满足AM=MF，连接AF交BD于E点，过F作FN⊥x轴于N，连接ME．设点M运动时间为t（s）．

（1）直接写出点D和M的坐标（可用含t式子表示）；
（2）当△MNF面积为 时，求t的值；
（3）△AME能否为等腰三角形？若不能请说明理由；若能，求出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵正方形AOBD的面积为为16，

∴正方形的边长为4，即OB=BD=4．

∴D（4，4）．

∵OM=t，点M在x轴上，

∴M（t，0）

（2）

解：∵AM⊥MF，

∴∠AMF=90°．

∴∠AMO+∠FMN=90°．

又∵∠OAM+∠AMO=90°，

∴∠OAM=∠FMN．

在△AMO于△MFN中， ，

∴△AMO≌△MFN（AAS）．

∴OM=FN，OA=MN．

∴ AOOM= MNFN= ， ×4×t= ，解得：t=

（3）

解：①∵△AMF为等腰直角三角形，

∴MF=AM≠ME．

∴AM=EM这种情况不成立．

②当AE=ME时．

∵△AMF为等腰直角三角形，

∴∠MAE=45°．

∵AE=ME，

∴∠MAE=∠AME=45°．

∴∠AEM=90°．

∴∠AED+∠MEB=90°．

又∵∠AED+∠EAD=90°，

∴∠MEB=∠EAD．

在△MEB和△EDA中 ，

∴△MEB≌△EAD（AAS）．

∴BE=AD．

∴点B与点D重合，点M与点B重合．

∴t=4．

③当AM=AE时，如图所示：连接AB交ME于点H．

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中， ，

∴Rt△AOM≌△Rt△ADE．

∴DE=OM=t，∠MAO=∠DAE=22.5°．

∵四边形AOBD为正方形，

∴∠BAO=∠DAB=45°．

∴∠MAH=∠EAH=22.5°．

∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°．

∴AH⊥ME．

∴MO=MH=t，HE=DE=t．

∴ME=MH+HE=2t．

∵MB=BE=4﹣t，由勾股定理得：ME2=MB2+BE2，即2（4﹣t）2=4t2．

解得：t=4 ﹣4，t=﹣4﹣4 （舍去）．

综上所述，当t=4或y=4 ﹣4时，△AME为等腰三角形．

【解析】（1）由正方形的面积可求得正方形的边长，从而可得到点D的坐标，由题意可知OM=t，且M在x轴上，故此可得到点M的坐标；（2）先依据AAS证明△AMO≌△MFN，从而得到OM=FN，OA=MN，接下来由三角形的面积公式可求得OM的长，从而得到t得值；（3）可分为AM=EM、AE=ME、AM=AE三种情况．其中AM=EM的情况不成立；当AE=ME时，可依据AAS证明△MEB≌△EAD，从而得到BE=AD，于是可得到M与点B重合从而求得t的值；当AM=AE时，可证明MO=MH=HE=DE，从而可求得ME=2t，MB=4﹣t，然后在△MBE中依据勾股定理列出关于t的方程，从而可取得t的值．
【考点精析】通过灵活运用全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等即可以解答此题．