Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足(a＋2)2＋＝0，过C作CB⊥x轴于B.

(1)求三角形ABC的面积；

(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；

(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)4;(2) 45°;(3) P点的坐标为(0，－1)或(0，3)．

【解析】试题分析：（1）根据非负数的性质得a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，则A（-2，0），C（2，2），B（2，0），然后根据三角形面积公式计算S△ABC；

（2）作EM∥AC，如图②，则AC∥EM∥BD，根据平行线的性质得∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，则∠AED=∠CAE+∠BDE，而∠CAE=∠CAB，∠BDE=∠ODB，所以∠AED=（∠CAB+∠ODB），而由AC∥BD得到∠CAB=∠OBD，于是∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，则∠AED=45°；

（3）如图③，AC交y轴于Q，先确定Q（0，1），设P（0，t），利用三角形面积公式和S△PAC=S△APQ+S△CPQ=S△ABC得到|t-1|2+|t-1|2=4，然后解方程求出t即可得到P点坐标．

试题解析：(1)∵(a＋2)2＋＝0，

∴a＋2＝0，b－2＝0，

∴a＝－2，b＝2，

∴A(－2，0)，C(2，2)．

∵CB⊥AB，

∴B(2，0)，

∴AB＝4，CB＝2，

则S三角形ABC＝×4×2＝4.

（2）作EM∥AC，如图②，

∵AC∥BD，

∴AC∥EM∥BD，

∴∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，

∴∠AED=∠CAE+∠BDE，

∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠CAE=∠CAB，∠BDE=∠ODB，

∴∠AED=（∠CAB+∠ODB），

∵AC∥BD，

∴∠CAB=∠OBD，

∴∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，

∴∠AED=×90°=45°．

(3) 存在．

如图③，AC交y轴于Q，则Q（0，1），

设P（0，t），

∵S△PAC=S△APQ+S△CPQ=S△ABC，

∴|t-1|2+|t-1|2=4，解得t=3或t=-1，

∴P点坐标为（0，3），（0，-1）；