Question

【题目】△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．

(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；

(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；

(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由折叠可得∠DA′A＝∠A，根据三角形外角的性质可得∠BDA′＝∠DA′A+∠A =2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，在四边形ADA′E中，根据四边形的内角和为360°可得∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，即∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.又因∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，所以∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，即可得∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.再由折叠的性质可得∠A＝∠A′，所以∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，设DA′交AC于点F，根据三角形外角的性质可得∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，即可得∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，所以∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.再由折叠的性质可得∠A＝∠A′，所以∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.

试题解析：

(1)∠BDA′＝2∠A

(2)∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，

理由：∵在四边形ADA′E中，

∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，

∴∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.

∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，

∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，

∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A＝∠A′，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.

(3)∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.

理由：设DA′交AC于点F，

∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，

∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，

∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

∴∠A＝∠A′，

∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.