Question

【题目】如图，边长为 7 的正方形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 P 从点 C 出发，以 每秒 1 个单位的速度向 O 运动，点 Q 从点 O 同时出发，以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，到达端点即停止运动，运动时间为 t 秒，连 PQ、BP、BQ．

（1）写出 B 点的坐标；

（2）填写下表：

时间 t（单位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP 的长度
OQ 的长度
PQ 的长度
四边形 OPBQ 的面积

①根据你所填数据，请描述线段 PQ 的长度的变化规律？并猜测 PQ 长度的最小值．

②根据你所填数据，请问四边形 OPBQ 的面积是否会发生变化？并证明你的论断；

（3）设点 M、N 分别是 BP、BQ 的中点，写出点 M，N 的坐标，是否存在经过 M， N 两点的反比例函数？如果存在，求出 t 的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（7，7）；（2）表格填写见解析；①,PQ长度的最小值是；

②四边形OPBQ的面积不会发生变化；（3）t=3.5存在经过M，N两点的反比例函数.

【解析】

通过写点的坐标，填表，搞清楚本题的基本数量关系，每个量的变化规律，然后进行猜想；用运动时间t，表示线段OP，OQ，CP，AQ的长度，运用割补法求四边形OPBQ的面积，由中位线定理得点M（3.5，7-），N（，3.5），反比例函数图象上点的坐标特点是 ，利用该等式求t值．

解：(1)∵在正方形 OABC中OA=OC=7

∴B（7，7）

(2)表格填写如下：

①线段PQ的长度的变化规律是先减小再增大,PQ长度的最小值是 .理由如下：

在Rt△POQ中，OP=7-t，OQ=t

∴PQ2=(7-t)2+t2=2t2-14t+49=

∵

∴

∴当 时PQ2最取得最小值为

∴此时

②根据所填数据，四边形OPBQ的面积不会发生变化；

∵=24.5，

∴四边形OPBQ的面积不会发生变化.

(3)点M(3.5,7 ),N( ,3.5)，

当3.5(7)=×3.5时，则t=3.5，

∴当t=3.5存在经过M，N两点的反比例函数.