Question

【题目】如图，直线y=x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点M是射线AB上一动点（点M不与点A、B重合），以点M为圆心，MA长为半径的圆交y轴于另一点C，直线MC与x轴交于点D，点E是线段BD的中点，射线ME交⊙M于点F，连接OF．
（1）若MA=2，求C点的坐标；
（2）若D点的坐标为（4，0），求MC的长；
（3）当OF=MA时，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】解：（1）如图1所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G．

∵将x=0代入y=x+6得y=6，
∴A（0，6）．
∴OA=6．
∵将y=0代入y=x+6得x+6=0，解得：x=﹣8，
∴B（﹣8，0）
∴OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==10．
∵∠KGA=∠BOA=90°，∠MAG=∠BAO，
∴△ABO∽△AMG．
∴，即，解得：AG=1.2．
∵MG⊥AC，AM=MC，
∴AG=CG=1.2．
∴AC=2.4．
∴OC=OA﹣AC=6﹣2.4=3.6．
∴C（0，3.6）．
（2）如图2所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G．

∵∠OCD=∠MCA，∠MCA=∠MAC，
∴∠OCD=∠BAO．
又∵∠BOA=∠DOC，
∴△DOC∽△BOA．
∴=，即，解得OC=3．
∵由（1）可知AG=AC，
∴AG=X(OA-OC)=．
∵由（1）可知△ABO∽△AMG，
∴，即，解得：AM=．
∵MC=AM，
∴MC=．
（3）①如图3所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．

∵由（2）可知△DOC∽△BOA，
∴∠MBD=∠MDB．
∴MB=MD．
又∵E是BD的中点，
∴ME⊥BD．
∴四边形FMGH为矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴AG=OH=AM．
∵AG+GH+OH=6，
∴AM+AM+AM=6．
解得：AM=．
∴AG=X=，OH=AM+AM=X+=．
∴点M的坐标为（﹣，）．
②如图4所示：过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．

由①可知四边形MGHF为矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴∠MAG=∠FOH．
∴MA∥OF．
又∵MF∥AC，
∴四边形AOFM是平行四边形．
∴MF=AC=6．
∴AM=6．
∴GM=6X=，AG=6×=．
∴OG=OA﹣AG=6﹣=．
∴点M的坐标为（﹣，）．
【解析】（1）过点M作MG⊥AC，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，然后求得AB的长，接下来证明△ABO∽△AMG，依据相似三角形的性质可求得AG=1.2，依据等腰三角形三线合一的性质可求得AC的长，从而得到点C的坐标
（2）过点M作MG⊥AC，垂足为G．先证明△DOC∽△BOA，从而可求得OC=3，然后由△ABO∽△AMG可求得AM的长，从而得到MC的长；
（3）①过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．先证明△MBD为等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的性质可证明MF⊥BD，从而得到四边形FMGH为矩形，然后再证明Rt△MAG≌Rt△FOH，从而得到AG=OH=AM，可求得AM的长，由AM的长可求得AG、MG的长，故此可求得点M的坐标；②过点M作MG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H．先证明Rt△MAG≌Rt△FOH，于是得到∠MAG=∠FOH，接下来可证明四边形AOFM是平行四边形，故此可求得AM=6，从而可求得点M的坐标．