Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AM、CN都是BD的垂线，M、N是垂足．

求证：（1）AM=CN；（2）∠MAN=∠NCM．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质可证AD=BC，∠ADB=∠CBD,由垂直的定义得∠AMD=∠BNC=90,根据“AAS”可证△ADM≌△BCN；

（2）由（1）知AM=CN，又由AM、CN都是BD的垂线，可得AM∥BN,从而可证四边形AMCN是平行四边形.

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD.

∵AM、CN都是BD的垂线，

∴∠AMD=∠BNC=90.

在△ADM和△BCN中，

∵∠ADB=∠CBD，

∠AMD=∠BNC，

AD=BC，

∴△ADM≌△BCN，

∴AM=CN；

（2）∵AM、CN都是BD的垂线，

∴AM∥CN；

由（1）得，

AM=CN；

∴四边形AMCN是平行四边形

∴∠MAN=∠NCM.