Question

【题目】如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）

（2）解：联立两解析式可得： ，

解得： ，或 ．

故可得点A的坐标为（ ， ）

（3）解：如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA

= ×2×4+ ×（ +4）×（ ﹣2）﹣ × ×

=4+ ﹣

=

（4）解：过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y= x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4= ×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y= x+3．

由 ，解得 ， ，

∴点M的坐标为（ ， ）．

【解析】（1）利用配方法可配成顶点式；（2）A点的坐标可通过求抛物线与直线解析式联立的方程组的解即可；（3）“斜三角形”面积可通过作垂线转化为“竖直三角形”的面积和；（4）底边公用的三角形面积相等可逆向思维，可由“平行线所夹的底边共用三角形面积相等”得到直线PMOA，求出PM解析式与抛物线的交点，即可求出M坐标.