Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，点P、点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q以1cm/s的速度沿B→C运动，当点P到达终点时两个点同时停止运动，设点P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2 ， 已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC=6cm；②曲线MN的解析式为y=﹣ t2+ t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为 ；④若△PQC与△ABC相似，则t= 秒．其中正确的是（ ）

A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】A
【解析】由图2可得到t=4时，y= 48 5 ，

∴AB=2×4=8cm，

∵∠A=90°，BC=10cm，

∴AC=6cm，

故①正确；

②当P在AC上时，如图3，过P作PD⊥BC于D，

此时： =7，

∴4≤t≤7，

由题意得：AB+AP=2t，BQ=t，

∴PC=14﹣2t，

sin∠C= ，

∴ = ，

∴PD= ，

∴y=S△BPQ= BQPD= t =﹣ ；

故②正确；

③当P与A重合时，PQ最大，如图4，此时t=4，

∴BQ=4，

过Q作GH⊥AB于H，

sin∠ ，

∴ ，

∴QH= ，

同理：BH= ，

∴AH=8﹣ = ，

∴PQ= = = ；

∴线段PQ的长度的最大值为 ；

故③不正确；

④若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，

分两种情况：

PC=14﹣2t，QC=10﹣t，

i）当△CPQ∽△CBA，如图5，则 ，

∴ ，

解得t=﹣8不合题意．

ii）当△PQC∽△BAC时，如图5，

∴ ，

∴ ，

t= ；

∴若△PQC与△ABC相似，则t= 秒，

故④正确；

其中正确的有：①②④.

所以答案是：A．