Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC=BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴DC=BD

（2）证明：连接半径OD，

∵OA=OB，CD=BD，

∴OD∥AC，

∴∠ODE=∠CED，

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

【解析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径，因此连接AD，得出AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质AB=AC，即可证得结论。
（2）根据OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，再根据已知DE⊥AC，可证得OD⊥DE，即可证得结论。
【考点精析】掌握平行线的判定与性质和等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．