Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= ，则抛物线解析式为y= （x+4）（x﹣2），即
（2）解：过M作MN⊥x轴，

将x=m代入抛物线得：y= m2+m﹣4，即M（m， m2+m﹣4），∴MN=| m2+m﹣4|=﹣ m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= ×（4+m）×（﹣ m2﹣m+4）+ ×（﹣m）×（﹣ m2﹣m+4+4）﹣ ×4×4

=2（﹣ m2﹣m+4）﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m

=﹣（m+2）2+4

当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．

【解析】（1）根据已知点的坐标特点，设函数解析式为交点式，利用待定系数法即可求出此函数解析式。
（2）过M作MN⊥x轴，设出点M的坐标，分别表示出MN、ON的长，再根据A、B两点坐标求出OA、OB、AN的长，再根据△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB 建立函数解析式，求出其顶点坐标，即可求出S的最大值。