Question

【题目】如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在轴上，且，求点的坐标；

（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 抛物线解析式为；（2）或；（3），，.

【解析】

（1）根据当时，可知C（0，-3）根据，可知B（-1，0）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.（2）如图：连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|根据∠BDO=∠BAC=45°，即可得到结论；（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图：过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论.

（1）当时，，，

，

.，，

抛物线解析式为.

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，-3），C（0，-3），

∴AF∥x轴，

∴F（-1，-3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°，

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±1，

∴D1（0，1），D2（0，-1）；

（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），

①以AB/span>为边，则AB∥MN，AB=MN，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a-1|=3，

∴a=4或a=-2，

∴M（4，5）或（-2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，-3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．