Question

【题目】已知；如图1，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为，点C在y轴上，.

(1)求点A的坐标；

(2)如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，BP与AC交于点G，，点E、F分别在线段AP、BP上，且.若，求的值；

(3)如图3，在(2)的条件下，当时，试判断△PAF形状并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0）．（2）49.（3）见解析

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，再根据菱形的性质进行计算即可解决问题；

（2）如图2中，连接CE、CF．先证明△ABC是等边三角形，得到∠ACB=60°，再求得△CEF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AFC =90°，再由勾股定理得到AF2+CF2=AC2=49；

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC，根据等边三角形的性质，结合题意得到△CPE≌△HAE，再结合题意由全等三角形的性质得到△ACP≌△BCT，根据全等三角形的性质得到△CPT是等边三角形，再根据题意即可证明△APF是等边三角形.

（1）如图1中，

∵y=-﹣x+，

∴B（，0），C（0，），

∴BO=，OC=，

在Rt△OBC中，BC==7，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=7，

∴OA=AB-OB=7-=，

∴A（-，0）．

（2）如图2中，连接CE、CF．

∵OA=OB，CO⊥AB，

∴AC=BC=7，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠APB=60°，

∴∠APB=∠ACB，

∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，

∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，

∴△ACE≌△BCF，

∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，

∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴∠CFE=60°，EF=FC，

∵∠AFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，

∴AF2+EF2=49．

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．

∵△CEF是等边三角形，

∴∠CEF=60°，EC=CF，

∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，

∴∠H=∠CEF-∠EFH=30°，

∴∠H=∠EFH，

∴EH=EF，

∴EC=EH，

∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，

∴△CPE≌△HAE，

∴∠PCE=∠H，

∴PC∥FH，

∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，

∴△ACP≌△BCT，

∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，

∴∠PCT=∠ACB=60°，

∴△CPT是等边三角形，

∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，

∵CP∥FH，

∴∠HFP=∠CPT=60°，

∵∠APB=60°，

∴△APF是等边三角形.