Question

【题目】如图，四边形APBC是圆内接四边形，∠APB=120°，PC平分∠APB，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=2

①求PD的长．

②图中弧BP和线段DP、BD组成的图形面积为　　（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①4；②3﹣π．

【解析】分析：（1）根据角平分线的定义结合∠APB=120°可得出∠BPC=60°，利用圆周角定理可求出∠BAC=60°，再根据圆内接四边形的性质可得出∠ACB=60°，由此即可证出△ABC是等边三角形；

（2）①通过解含30度角的直角三角形可求出AP、AD的长度，二者做差即可得出PD的长；

②根据圆内接四边形的性质找出∠PBC=90°，取PC的中点O，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，利用分割图形求面积法即可求出弧BP和线段DP、BD组成的图形面积．

本题解析：

（1）证明：∵∠APB=120°，PC平分∠APB，

∴∠BPC=∠APC=∠APB=60°，

∴∠BAC=∠BPC=60°．

∵四边形APBC是圆内接四边形，∠APB=120°，

∴∠ACB=180°﹣∠APB=60°，

∴△ABC是等边三角形．

（2）解：①在Rt△PAC中，∠APC=60°，∠PAC=90°，AC=AB=2，

∴∠PCA=30°，

∴PC=2PA．

∵PC2=PA2+AC2，

∴PA=2，PC=4．

同理，可求出CD=4，AD=6，

∴PD=AD﹣PA=4．

②∵∠PAC=90°，四边形APBC是圆内接四边形，

∴∠PBC=90°．

取PC的中点O，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，如图所示，

∴PO=PC=2，OE=PB=PA=1，

∴弧BP和线段DP、BD组成的图形面积=S△PCD﹣S△OBC﹣S扇形POB=×4×2﹣×2×1﹣π×22=3﹣π．

故答案为：3﹣π．