Question

【题目】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，平移中的△ABF为△A1B1F1设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．

①当点F分别平移到线段AB上时，求出m的值

②当点F分别平移到线段AD上时，当直接写出相应的m的值．

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AE交于点O，当∠A′BD=∠FAB时，请直接写出OB的长．

Answer 1

【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）①3；②；（3）1或.

【解析】分析：（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，分两种情形分别求解即可．

本题解析：

（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，

由勾股定理得：BD=．

∵S△ABD=BDAE=ABAD，

∴AE==4．

在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称点性质可知，∠1=∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=3，即m=3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，

又易知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，

∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=．

（3）如图3中，设AE交BA′于K．

∵∠KBE=∠FAB=∠BAE，∠KEB=∠AEB，

∴△EKB∽△EBA，∴可得BE2=EKEA，∴EK=，

在Rt△BEK中，BK=，

∴A′K=5﹣=，∵∠A′=∠KBE，∴OA′∥BE，∴，

∴，∴OK=，∴AO=AE﹣OK=KE=1．

如图4中，当∠DBA′=∠BAF时，点A′在线段BC上，

易证∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，设OA=OB=x，

在Rt△OBE中，∵OB2=OE2+BE2，∴x2=32+（4﹣x）2，

∴x=，∴OA=，

综上所述，满足条件的OA的长为1或．