Question

【题目】（操作发现）三角形三个顶点与重心的连线段，将该三角形面积三等分.

（1）如图①：中，中线、、相交于点.求证：.

（提出问题）如图②，探究在四边形中，是边上任意一点，与和的面积之间的关系.

（2）为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

如图③，当时，探求与和之间的关系，写出求解过程.

（问题解决）

（3）推广，当（表示正整数）时，直接写出与和之间的关系：____________.

（4）一般地，当时，与和之间的关系式为：____________.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）利用三角形的中线的性质，解决问题即可．
（2）结论：．根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）化简计算即可．

（3）根据,△ABP和△ABD的高相等，得到，根据△CDP和△CDA的高相等，得到，整理即可；
（4）与（3）的解答方法类似，计算即可．

（1）证明：如图①中，

∵BD=CD，

∵G是重心，
∴AG=2DG，

（2）结论：；

理由：如图③中，

当时，

∵，和的高相等，

∴，

∵，和的高相等，

∴.

∴

.

（3）结论：；

理由：

∵，和的高相等，

∴.

又∵，和的高相等，

∴，

∴

.

∴.

故答案为：

（4）结论：.

理由是：

∵，和的高相等，

∴.

又∵，和的高相等，

∴，

∴

.

∴.

故答案为：