Question

【题目】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，CD=2．

①若∠C=30°，求图中阴影部分的面积；

②若，求BE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）①4- ；②。

【解析】试题分析：（1）首先连接OD，由AB是直径，可得∠ADB=90°，然后由∠CDA=∠CBD，求得∠CDO=90°，即可证得结论；

（2）①由∠CBD=30°，可得△ADO是边长为1的等边三角形，继而求得CD的长，然后由S阴影=S四边形OBED﹣S扇形OBD求得答案；②由∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，可证得△CDA∽△CBD，可得比例式=，从而CB=3.在直角△CBE中，由勾股定理得到BE的长．

试题解析：（1）连OD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠2=90°．

又∵∠CDA=∠CBD，∠2=∠CBD，

∴∠2=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，

∴CD是⊙O的切线．

（2）①∵BE是⊙O的切线，

∴BE⊥BC．

∵∠C=30°，

∴∠E=60°．

∵DE是⊙O的切线，ED=EB，

∴△EBD是等边三角形，

∴∠EBD=60°，

∴∠DBC=30°，

∴DB=CD=2，EB=ED=BD=2．

在Rt△COD中，∵∠C=30°，CD=2，

∴OD=2．

∴S四边形OBED=2S△BEO=2××2×3=4．

S扇形OBD==，

则S阴影=S四边形OBED﹣S扇形OBD=4﹣；

②∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，

∴△CDA∽△CBD

∴=，即=，

∴CB=3．

设BE=ED=x，在直角△CBE中，由勾股定理得到：x2+（3）2=（2+x）2，

解得x=，所以BE的长为．