Question

【题目】（1）数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题：

一个圆内接六边形ABCDEF，各边长度依次为 3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF的面积．

小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③．可以求出六边形ABCDEF的面积等于 ．

（2）类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3．求这个八边形的面积．请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）13+12．

【解析】

试题分析：（1）如图③，利用六边形ABCDEF每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合可判断△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解；

（2）先画出分割重组的图形，如图⑤，利用八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，可判断四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，根据根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解．

试题解析：（1）如图③，∵六边形ABCDEF为轴对称图形，每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合，∴△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，

∴NQ=3+5+3=11，

∴六边形ABCDEF的面积=S△MNQ﹣3S△AMN

=×112﹣3××32

=；

故答案为．

（2）如图⑤，∵八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，

∴四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，

∴PA=AB=，PN=+3+=3+2，

∴这个八边形的面积=（3+2）2﹣4×××=9+12+8﹣4=13+12．