Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点．

（1）求点A的坐标和k的值；

（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（2，2），k=4；(2) 在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据直角三角形的性质可设点A的坐标为（a，a），因为点A在直线y=3x-4上，即把A点坐标代入解析式即可算出a的值，进而得到A点坐标，然后再利用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．

试题解析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴AM=AN．

设点A的坐标为（a，a），

∵点A在直线y=3x-4上，

∴a=3a-4，

解得a=2，

则点A的坐标为（2，2），

∵双曲线y=也经过A点，

∴k=4；

（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．

过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，

则△APQ为所求作的等腰直角三角形．

理由：在△AOP与△ABQ中，

∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△AOP和△ABQ中

，

∴△AOP≌△ABQ（ASA），

∴AP=AQ，

∴△APQ是所求的等腰直角三角形．

∵B（4，0），

∴Q（4，1），

经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．